首页 -> 2008年第5期
加强变式教学 培养学生的解题能力
作者：钱国苗
[关键词]变式教学 培养 解题能力
《中小学数学》（初中教师版）2006年第1~2期刊登的陆祥雪老师的《一道例题教学后的思考》，分析了从学生和教师两个层面学习定势对学生的数学知识迁移产生的负面影响。对此，每个数学教师都深有同感。当要解决的问题与先前学过的某些知识貌似但本质又不完全相同时，定势就可能产生干扰作用，导致盲目套用程式，简单模仿经验，从而阻碍问题解决。本文从教师教学层面，通过改善教学方式，加强变式教学，培养学生的解题能力，切实减少学习定势的影响。
从学生的认知规律考虑，当学生学习新知或解决新问题时，总会从自己原有的知识结构中找到知识的生长点或找到知识的原型。数学的建模能力一直是中国学生解决问题的法宝之一，尽管学习定势对解题可能有干扰作用，但不可否认数学的建模给解题带来的积极影响。只有在学生建模时，加强变式教学，增强学生对问题的甄别能力，才能真正减少学习定势带来的负面影响。“马顿理论”指出：第一，学习就是鉴别；第二，有比较（差异）才能鉴别。所以，在教学中应尽可能地去拓展学生“学习空间”的“变异维数”，即应当尽可能地去引入适当的变异。
在相似三角形的复习课上，师生共同完成例题之后，继续给出几个变式题让学生“变中求不变，不变中求变”，收效是很好的。
[例题]如图1，△ABC是一块锐角三角形余料，要用它来加工正方形零件，使正方形的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。若BC=12，高AD=6，求所画正方形的边长。
学生利用相似三角形对应边上的高对应成比例列方程很快求出了正方形边长（过程略）。
[变式题一]阅读并解答问题：如图2，在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC的边上。作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′；
第二步：连结BF′，并延长交AC于点F；
第三步：过F作EF⊥BC，垂足为点E；
第四步：过F点作FG∥BC，交AB于点G；
第五步：过G点作GD⊥BC，垂足为点D。
则四边形DEFG即为所作的正方形。
此时笔者追问，请大家注意题目中已知条件的差异，有没有更简单的方法。学生纷纷去比较题目中已知条件的不同，并在较短的时间内得到了答案。
两题中的相同之处，都是已知底BC的前提下，求锐角三角形的内接正方形边长，所以可以用同一种思路解决问题。不同之处是例题已知的是一条底边和这条边的高，有利于运用相似三角形的对应边上高对应成比例解决问题；而试题已知的是一边和两个特殊角。从特殊角的条件出发，不难找到图2中BD、EC与要求的正方形边长之间的关系，学生较容易地得到了简单方法：
解完后，又问：三个顶点落在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′画在靠顶点C的角落，通过连结CG′，并延长交AB于点G；再依次得到D、E、F点，其余条件不变，该如何求正方形的边长？
学生画出图形后，认为解法与上面的一样。
变式题二：已知△ABC是一块直角三角形余料，其中∠BAC=90o，AB=4，AC=3，要用它来加工正方形零件，使正方形的边或顶点分别落在原三角形的三条边上。求所画正方形的边长。
变式题三：如图5，△ABC是一块锐角三角形余料，要用它来加工长方形的零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。若BC=12，高AD=6，问长方形的长和宽为多少时，才能使所得长方形的面积最大。
学生发现了正方形和长方形之间的差别，设 PQ=x，则AE=6-x，由△APN?荠△ABC得 = ，得到PN=12-2x，所以S长方形=x(12-2x)=-2x2+12x根据二次函数的性质可知，当PQ=PN=3，即所画长方形为正方形时，长方形面积最大。
变式题四：如图6，△ABC是一块锐角三角形余料，要用它来加工等腰直角三角形零件，使斜边PQ∥BC，直角顶点E落在BC边上。若BC=12，高AD=6，求所得等腰直角三角形的面积。
经过与例题图形的比较，学生发现例题的思路仍可适用，关键在于根据相似三角形对应边上的高对应成比例求出PQ的长。
通过以上对原问题作出的适当引伸，要求学生逐步学会如何摆脱复杂背景的干扰。为什么要求变，“求变”正是为了“不变”，即通过恰当的变化（进而对照）以突出其中的不变因素。有效帮助学生更好地学会问题解决。
变式教学最大可能地消除了学习定势带来的负面影响，“不应求全，而应求变”、“不应求全，而应求联”可以看成数学基础知识教学必须遵循的重要原则。
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