首页 -> 2008年第10期
正方体模型在教学中的应用
作者：梅虎华
(Ⅱ)连结D1O、A1C1，因为O是正方形A1B1C1D1的中心，所以D1O⊥A1C1，又 D1O⊥A1A，所以 D1O⊥平面ACC1A1，而AP?奂平面ACC1A1，故 D1O⊥AP，那么，由三垂线定理的逆定理可知，D1O在平面APD1上的射影与AP垂直，即D1H⊥AP。
【解析2】如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则A（4，0，0），P（0，4，1），B(4，4，0)，D1（0，0，4），O（2，2，4），A1（4，0，4），D（0，0，0）。
(Ⅰ) =(0，-4，0) ， =(4，-4，-1)，记 为平面BCC1B1的法向量，设直线AP与平面BCC1B1所成的角为?兹，则sin?兹＝cos< ， >= = = 。所以?兹=acrsin 。(Ⅱ) =(-2，-2，0)，因为 · =0，所以 ⊥ ，又点O在平面D1AP上的射影是H，由三垂线定理的逆定理可知 D1H⊥AP。
【评注】计算和证明问题，是高考立体几何的常考点，解决的方法有几何法和向量法，这种“一题两法”、择优选取，是立体几何在高考中的一大变化。许多需要识图、构造图形、变换图形等空间想象问题通过计算就可以解决。同时，新课标强调计算以角度为主、证明以位置关系为主，从而降低了解答题的难度，这为正方体的闪亮登场提供了舞台，正方体图形直观，与其它几何体又有联系，利于双基的落实和能力的培养及考查。但是，用向量计算角度时，要注意角度的范围和向量的方向。
（四）正方体中探究问题
[例8]（2006年湖北·理·18题）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m。（Ⅰ）略；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。
【解析】（Ⅱ）（直推法）当点Q是AICI的中点时，满足题设要求。证明过程见例7解析1的（Ⅱ）的证明。(Ⅱ）（假设几何法）假设在A1C1上存在一点Q，使得D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，由三垂线定理可知D1Q⊥AP，而D1Q⊥AA1，所以D1Q⊥平面ACC1A1，故D1Q⊥A1C1，∴Q是A1C1的中点。因此，当点Q是AICI的中点时，命题结论成立。
（Ⅱ）（假设向量法）如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，1，m)，D1(0，0，1)。若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，x∈（0，1），则Q(x，1－x，1)， =(x，1－x，0)， =(-1，1，m)。对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP?圳 · =0?圳-x+（1-x）=0?圳x= ∈（0，1）。即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。
【评注】本例是存在与否的探究题型，以正方体为载体，去探究、去发现线线垂直的充要条件。此例还可改为“在线段A1C1上是否存在一个点Q，使得AQ⊥PQ？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由。”（提示：当m ∈（0，0.5）时，不存在点Q使得AQ⊥PQ；当m∈[0.5，1）时，存在点Q使得AQ⊥PQ。）它比本例设问更深一层，体现与三角、函数知识交汇，说明此类问题在高考中有加强的趋势。解决方法有直推法，即通过观察、分析、归纳猜想得出条件，再论证结论；还有假设法，即假设结论成立，以此作为条件用几何通法（或向量法）进行演绎推理（或推算），若结果合理，则假设正确；若出现矛盾，则假设错误，得出相反的结论。
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